Teilthema: Tonintervalle

 

Einführende Informationen

Bei Saiteninstrumenten wie z.B. der Gitarre oder der Geige ändert man die Tonhöhe, indem man durch Auflegen eines Fingers dafür sorgt, dass die Länge des schwingenden Teils der Saite variiert. Ist der schwingende Teil kürzer, so wird der Ton höher. Im Prinzip gibt es unendlich viele Saitenlängen und damit auch unendlich viele Tonhöhen. In der Musik treten aber nur wenige ausgezeichnete Töne auf. Stimmt man die nicht verkürzte Saite auf den Ton c, so sind dies (bei einer Dur-Tonleiter) c, d, e, f, g, a, h und c'. Die Frage ist nun, wie man die Saite verkürzen soll, um diese Töne zu bekommen. Für Pythagoras (der nicht nur auf dem Gebiet der rechtwinkligen Dreiecke tätig war, sondern eine Schule gegründet hatte, die sich mit allen Fragen der Mathematik beschäftigte) kamen - aufgrund seiner philosophischen Überzeugung, dass einfache Zahlenverhältnisse die Grundlage der Welt sind - für die Verkürzung nur Kombinationen aus möglichst einfachen Brüchen in Frage. Die einfachsten Brüche sind: 1/2, 2/3 und 3/4. Pythagoras baute nun mit Hilfe dieser Brüche die Tonleiter auf: Die Hälfte der Saitenlänge ergibt den Ton c' (Oktave), 2/3 der Saitenlänge den Ton g (Quint), 3/4 der Saitenlänge den Ton f (Quart). Die zu den anderen Tönen gehörenden Brüche findet man, indem man - von der unverkürzten Saite ausgehend - immer wieder auf 2/3 der übrigbleibenden Saite verkürzt und anschließend die Saitenlänge so oft verdoppelt (entspricht Oktavsprüngen), bis sie im Bereich zwischen 1/2 und 1 liegt. Zum Beispiel gehört zu a der Bruch (2/3)·(2/3)·(2/3)·2 = 16/27 (Sext). Der Reihe nach ergeben sich folgende Brüche: 1 (Prim), 8/9 (Sekund), 64/81 (Terz), 3/4 (Quart), 2/3 (Quint), 16/27 (Sext), 128/243 (Sept), 2 (Oktave).

Außer der pythagoreischen gibt es weitere Stimmungen. Die wichtigsten sind die (quint-terz-)reine und die temperierte Stimmung. In den Aufgaben 1 und 2 soll aber die pythagoreische Stimmung zugrundegelegt werden.

Ihre Aufgabe in diesem Teilthema ist es, die Saitenlängen bei pythagoreischer Stimmung nachzuprüfen sowie einen Zusammenhang mit den Tonfrequenzen herzustellen.

 

Aufgaben

  1. Rechnen Sie die angegebenen Brüche für Sekund, Terz und Sept nach!
  2. Die folgenden Messungen können Sie mit einem Monochord durchführen. Ein solches Instrument ist evt. in der Physiksammlung vorhanden. Falls nicht, können Sie eines nach der beigefügten Anleitung bauen. Sollte auch das nicht möglich sein, können Sie eine Gitarre benutzen. Sie ist aber nicht pythagoreisch, sondern temperiert gestimmt. Man macht daher einen kleinen prinzipiellen Fehler, der aber wenig ins Gewicht fällt.
  3. Nun sollen auf dem Saiteninstrument die Töne der Dur-Tonleiter gepielt und die dazugehörigen Grundfrequenzen gemessen werden. (Die Saite erzeugt auch noch Obertöne, uns interessiert hier aber nur die Grundschwingung.) Im Prinzip können Sie die Töne des Monochords oder der Gitarre direkt aufnehmen. Besser ist eine elektrische oder elektroakustische Gitarre, die man direkt an den Eingang der Soundkarte anschließt. Falls Sie keine Instrumente zur Verfügung haben, können Sie auch die beigefügte Datei tonleiter.mp3 benutzen (sie wurde mit einer elektroakustischen Gitarre aufgenommen). Führen Sie an der von Ihnen aufgenommen Datei oder an tonleiter.wav eine Frequenzanalyse durch, indem Sie das Fenster Analyze -> Frequency Analysis öffnet und für jeden Ton die zugehörige Grundfrequenz messen. Das Messbeispiel zeigt, wie man das Analysefenster benutzt. Es sollte "FFT-Size" auf dem größtmöglichen Wert stehen, und "Linear View" sollte abgeschaltet sein. Gibt es für die Frequenzen einen einfachen Zusammenhang, der der pythagoräischen Aussage über die Saitenlängen entspricht? (Tipp: Welches Intervall gehört zur doppelten Frequenz? Welches zum (3/2)-fachen der Grundfrequenz? Welches zum (4/3)-fachen? Und so weiter ... )
  4. Die Frequenzverhältnisse aufeinanderfolgender Töne sind bei der Pythagoras-Tonleiter nicht alle gleich. Das hat z.B. zur Folge, dass man Melodien nicht einfach "transponieren" (in eine andere Tonart bringen) kann. Um diesen Nachteil zu vermeiden, hat man im 17. Jahrhundert die temperierte Stimmung erfunden. Informieren Sie sich darüber, wie die Tonintervalle bei temperierter Stimmung festgelegt werden. Welche Vor- und Nachteile hat diese Stimmung? Berechnen Sie zu einem Tonintervall (z.B. der Sext, hier ist der Unterschied am größten) die Frequenz bei pythagoreischer und bei temperierter Stimmung. Erzeugen Sie mit CoolEdit entsprechende Sinustöne. Kann man den Unterschied hören?